Primtalsatsen, två olika bevis

Sammanfattning: Denna rapport är ett kandidatarbete i matematik, och specifikt analytisk talteori. Till en början introducerar vi notationerna som behövs för grundläggande analytisk talteori, och därefter presenterar vi ett bevis av primtalssatsen på två sätt. Först på det klassiska sättet, och därefter på det nyare “pretentiösa” sättet. I det klassiska sättet formuleras först primtalssatsen på ett annat sätt och detta används sedan tillsammans med Perrons formel för att göra primtalssatsen till ett analytiskt påstående som kan bevisas med residykalkyl och uppskattningar. Detta utgör den senare och största delen av det klassiska beviset. Därefter introduceras det pretentiösa sättet och till det relevanta satser ur elementär talteori. Sedan görs uppskattningar och ett påstående som är ekvivalent med primtalssatsen bevisas genom Halász sats. Slutligen erhålls primtalssatsen med två olika feltermer, där den klassiska är asympotiskt mindre än den pretentiösa.