Sambandet mellan Fox färgläggningsinvariant för knutar och surjektiva homomorfier från knutgruppen

Sammanfattning: I denna uppsats studerar vi knutar i R3. Vi säger att ett knutdiagram är en projektion av knuten i rummet in i planet. Speciellt är vi intresserade av att undersöka huruvida ett knutdiagram är färläggningsbart, genom att undersöka om reglerna för en Fox p-färgning är uppfyllda. Vi visar att p-färgbarhet är en knutinvariant, vilken är densamma för ekvivalenta knutar, så att den kan användas för att visa att två knutar är olika. Huvudmålet i uppsatsen är att undersöka vad denna p-färgning mäter ur ett geometriskt/algebraiskt perspektiv genom att visa att antalet sätt att p-färga knuten är lika med antalet surjektiva homomorfier från knutgruppen till den dihedrala gruppen D2p. För att göra detta definierar vi knutgruppen genom att första introducera fundamentalgruppen och konceptet homotopi.