Banach–Tarski paradoxen och dess implikationer på måttproblemet

Detta är en Kandidat-uppsats från Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper

Författare: Lukas Enarsson; Oskar Johansson; Vincent Molin; Emil Timlin; [2020-07-01]

Nyckelord: ;

Sammanfattning: Vi presenterar ett bevis av en sats av Stefan Banach och Alfred Tarski, som bygger påresultat av Felix Hausdorff: Det finns två ändliga samlingar av disjunkta delmängder avenhetsbollen i R3 sådana att varje samling kan transformeras till en ny enhetsboll underverkan av stela rörelser (ändliga kombinationer av translationer och rotationer). Detta resultatförlängs sedan till dess starka form: Om A;B är två begränsade delmängder av R3 med icketomtinre så finns två partitioner fAign i=1; fBigni=1 av A och B respektive, och stela rörelser_1; _2; :::; _n sådana att _i(Ai) = Bi för varje i = 1; 2; :::; n. Dessa satser kallas för Banach–Tarski paradoxen.Måttproblemet ställer frågan huruvida man kan tilldela en volym till varje delmängd avRn för n 2 N så att volym bevaras under stela rörelser och partitionering. Vi visar att, som enkonsekvens av Banach–Tarski paradoxen, kan man inte ge ett jakande svar till måttproblemetför n > 2. Vi diskuterar om detta kan ges i en och två dimensioner, och i allmänhet hurproblemet att tilldela en volym till varje delmängd av en mängd X relaterar till existensen avdekomposititoner av delmängder av X liknande dem ovan, där elementen som transformerardekompositionerna kan höra till vilken klass som helst av bijektioner av X

  HÄR KAN DU HÄMTA UPPSATSEN I FULLTEXT. (följ länken till nästa sida)