Banach–Tarski paradoxen och dess implikationer på måttproblemet

Sammanfattning: Vi presenterar ett bevis av en sats av Stefan Banach och Alfred Tarski, som bygger på resultat av Felix Hausdorff: Det finns två ändliga samlingar av disjunkta delmängder av enhetsbollen i R3 sådana att varje samling kan transformeras till en ny enhetsboll under verkan av stela rörelser (ändliga kombinationer av translationer och rotationer). Detta resultat förlängs sedan till dess starka form: Om A;B är två begränsade delmängder av R3 med icketomt inre så finns två partitioner fAign i=1; fBigni =1 av A och B respektive, och stela rörelser _1; _2; :::; _n sådana att _i(Ai) = Bi för varje i = 1; 2; :::; n. Dessa satser kallas för Banach– Tarski paradoxen. Måttproblemet ställer frågan huruvida man kan tilldela en volym till varje delmängd av Rn för n 2 N så att volym bevaras under stela rörelser och partitionering. Vi visar att, som en konsekvens av Banach–Tarski paradoxen, kan man inte ge ett jakande svar till måttproblemet för n > 2. Vi diskuterar om detta kan ges i en och två dimensioner, och i allmänhet hur problemet att tilldela en volym till varje delmängd av en mängd X relaterar till existensen av dekomposititoner av delmängder av X liknande dem ovan, där elementen som transformerar dekompositionerna kan höra till vilken klass som helst av bijektioner av X