Virvlars rörelse i två dimensioner

Sammanfattning: Tillämpad 　ödesmekanik. För att härleda Eulers ekvationer gås tre fysikaliska principer igenom, som behöver uppfyllas. I 　ödesmekaniken dyker behovet av att kunna derivera med avseende på både position och tid, därav blir materialderivatan ett naturligt redskap. När vi talar om 　öden stöter vi ofta på benämningen vorticitet. Vorticitetens förhållande till 　ödets hastighetsfält studeras; även beräkningen av vorticiteten studeras genom att titta på komponenterna av hastighetsf ältet. Olika typer av virvelkoncept såsom virveltub, virvellament och virveltråd gås även igenom. Slutligen behandlas begreppet punktvirvel, som, i två dimensioner, är en diskret virvelapproximation med styrka i en punkt. Punktvirvlarnas rörelseekvationersystem av ickelinjära första ordningens ODE:erbeskrivs i både komplex och reell form. De uttrycker vardera virvels hastighet i form av de andra virvlarnas positioner och styrkor. Ett exempel ges där två virvlar, i ett plan utan vare sig ränder eller hål, rör sig längs en linje vilket leder fram till en sats som säger att två virvlar i planet utan ränder eller hål följer en rät linje om och endast om de har samma styrka till beloppet men motsatt tecken. Satsen bevisas sedan. Hamiltonfunktionen och Hamiltons ekvationer introduceras först ur ett allmänt perspektiv för att sedan snäva in på de punktvirvelspeci- ka Hamiltonekvationerna. Med hjälp av Noethers sats visas att energins, virvelrörelsemängdens och virvelrörelsemängdsmomentets bevarande impliceras av tids-, translations- och rotationsinvarians. Genom en rad exempel illustreras var vorticitetscentret benner sig i ett system av punktvirvlar. Två viktiga saker, att tänka på då ränder införs, motiveras för att sedan introducera Greens funktion och låta Hamiltonfunktionen uttryckas med den. Genom ett exempel visas hur en virvels hastighet, i halvplanet, kan bestämmas med hjälp av att placera ut en spökvirvel. Avsnittet virveldipol behandlar begreppet virveldipol och tillämpningar inom området. En virveldipol skapas när två punktvirvlar överlappar varandra. Därefter studeras strömfunktionen och Hamiltonfunktionen när dipoler tillsammans med punktvirvlar benner sig i det oändliga planet. Ett system av punktvirvlar kan utvecklas självliknande (eng. selfsimilarly). Om virvelpositionerna uttrycks på komplex form är det då intressant att känna till deras fas och amplitud. En känd självliknande utveckling är Kimuras så kallade trippelkollision: tre virvlar kolliderar och sammansmälter till en virvel. Trippelkollisionen simuleras i simulatorn som utvecklats parallellt med rapportskrivandet, men det visar sig att de tre punktvirvlarna kommer ut igen från kollisionspunkten. Detta antas hända då Matlabs ODE45, som används, når sin feltoleransgräns. Relativa jämviktspositioner för virvlar studeras med moderna metoder framtagna av H.Aref. Virvelpositionerna kan associeras med ett genererande polynom vars rötter är just virveljämviktspositonerna de själva. Slutligen visas ett antal intressanta specialfall. Av speciellt intresse är de positioner som ger jämvikt då punktvirvlarna antingen benner sig på en linje eller i hörnen av en polygon.