Numerisk simulering av solsystemet

Sammanfattning: Den här rapporten undersöker olika numeriska metoder och hur väl de kan simulera solsystemet. Två modeller simuleras: ett tvåkroppsproblem för att ta fram jordens planetbana runt solen samt ett niokroppsproblem för att ta fram alla åtta planeters samt solens bana. Två- och niokroppsproblemet är formulerade som en matematisk modell med hjälp av differentialekvationer från Newtons lagar. Systemet av andra ordningens ordinära differentialekvationer som framkommer är ett Hamiltonianskt system där den totala energin i systemet är konstant. Därför undersöker rapporten symplektiska metoder som konserverar energin för systemet. Dessa symplektiska metoder jämförs med numeriska standardmetoder. De numeriska metoderna som analyseras är framåt Euler, bakåt Euler, Runge-Kutta 4, symplektisk Euler, Störmer-Verlet och symplektiska metoder av högre ordning, mer specifikt av ordning fyra och ordning tio. Metoderna analyseras utifrån noggrannhet och förmåga att konservera energi. Resultatet från simuleringarna blir bland annat att lösningen av tvåkroppsproblemet för ett tidsintervall på 180 000 år ger ett betydligt mindre fel för fjärde ordningens symplektiska metod jämfört med Runge-Kutta 4. Runge-Kutta 4 ger även ett större fel än en andra ordningens symplektisk metod (Störmer-Verlet) och nästan lika stort fel som första ordningens symplektiska metod (symplektisk Euler). Slutsatsen av rapporten är att numeriska metoder som är symplektiska är betydligt mer önskvärda vid simuleringen av solsystemet, speciellt under långa tidsintervall. Symplektiska metoder är dessutom överlägsna med avseende på energikonservering.