Lösning av optimala styrproblem med finita elementmetoden. En studie i FEniCS.

Sammanfattning: I den här studien implementeras en finita elementmetod för att lösa optimala styrpro- blem i programvaran FEniCS. Den finita elementmetod som används är hämtad från Karin Krafts doktorsavhandling Adaptive Finite Element Methods for Optimal Control Problems [2].Optimala styrproblem behandlar styrning av dynamiska system. Systemen beskrivs av en tillståndsekvation och målet är att styra systemet mot ett visst tillstånd till en så låg kostnad som möjligt. För detta syfte introduceras en målfunktional som mäter avvikelsen från målet och även inkluderar kostnaden för styrning. Det optimala styrproblemet löses genom att minimera målfunktionalen med systemets tillståndsekvation som bivillkor.I Krafts avhandling utnyttjas Lagranges metod och bivillkoret skrivs på variationsform och adderas till målfunktionalen. Därmed fås en funktional utan bivillkor att minimera. Variationskalkyl används sedan för att nå en svag formulering som slutligen löses med finita elementmetoden.Syftet med studien är att undersöka hur väl lämpat FEniCS är för att hantera en finiita elementmetod lik den Kraft använder, vilken bygger på en kombination av kontinuerliga och diskontinuerliga funktionsrum. De diskontinuerliga funktionsrummen innefattar i Krafts avhandling två yttre randvärden. Dessa finns inte i de funktionsrum som FEniCS tillhandahåller, vilket leder till komplikationer.Komplikationerna kringgås genom att justera den matrisekvation som finita element- metoden resulterar i. Detta kräver extra arbete, men uppvägs av FEniCS fördelar. Till exempel är det enkelt att ändra gradtalet hos baspolynomen i de funktionsrum som an- vänds, samt att variera de