Monte Carlo- och Kvasi-Monte Carlo-metoders konvergens i högdimensionella problem : Rosenbrocks testfunktion och prissättning av finansiella derivat

Sammanfattning: Denna rapport är skriven som en del av ett kandidatarbete inom civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik på Uppsala universitet, vårterminen 2022. Målet med arbetet var att jämföra två olika matematiska verktyg, Monte Carlo- och Kvasi-Monte Carlo-metoder och se vilken ut av dessa som var effektivast när det kommer till att beräkna svårlösta integraler. Monte Carlo-simuleringar har använts frekvent inom matematiken sedan 1940-talet och är ett samlingsbegrepp för statistiska simuleringar där pseudoslumptalssekvenser används för att beräkna komplicerade numeriska problem. Kvasi-Monte Carlo-metodens algoritm är den samma som för Monte Carlo, med undantaget att i stället för att använda pseudoslumptalssekvenser vid lösningen, används sekvenser med låg diskrepans, t.ex. Sobolsekvensen. Genom att använda programmeringsprogrammet Matlab kunde den högdimensionella integralen av Rosenbrocks funktion, den endimensionella integralen som används för att prissätta europeiska köp- och säljoptioner samt den högdimensionella integralen som används för att prissätta asiatiska köpoptioner beräknas med hjälp av Monte Carlo- och Kvasi-Monte Carlo-metoden. Således kunde dessa metoders konvergens undersökas. Det visade sig, som tidigare forskning också gett stöd för, att Kvasi-Monte Carlo-metoden konvergerade betydligt snabbare mot det analytiska värdet än vad Monte Carlo-metoden gjorde, för samtliga tre problem.  För framtida bruk av Monte Carlo-metoder när integraler skall beräknas rekommenderas det att i stället för att använda pseudoslumptalssekvenser, använda tal från sekvenser med låg diskrepans, gärna en sobolsekvens. Detta då lösningen både konvergerar snabbare mot det analytiska värdet och är mer exakt, trots höga dimensioner.