Stabila approximationer av ett illaställt Cauchy-problem för värmeledningsekvationen i flera lager

Sammanfattning: I den här kandidatuppsatsen betraktar vi ett illa ställt Cauhy-problem för värmeekvationen i tunna väggar. Problemet kan matematiskt formuleras som: givet brusiga mätningar u x(L, t) och u(L, t) av ux(L, t) och u(L, t) längs linjen x = L bestäm lösningen för u(x, t) för 0 ≤ x, där u uppfyller värmeledningsekvationen ut = ((x)ux)x. Problemet dyker upp i många tillämpningar när man vill uppskatta en temperatur men att en direkt mätning inte låter sig göras. Man mäter en temperatur på ett annat ställe och beräknar temperaturen i den punkt man är intresserad av. Tyngdpunkten i uppsatsen ligger i att undersöka det inversa värmeproblemet i en vägg med flera lager. Det modelleras med att (x) antas vara styckvis konstant.    Problemet undersöks med Fourieranalys. Analysen visar att problemet är extremt illaställt och att det beror på förstärkning av höga frekvenser från mätbruset. Vi presenterar numeriska metoder för att regularisera och lösa problmet. Numersiska exempel som illustrar illaställdheten och regulariserade lösningar ges.